Wann eine Leitung schmilzt

Woher die Wärme kommt

Jeder stromdurchflossene Leiter hat einen elektrischen Widerstand und an diesem Widerstand fällt Leistung als Wärme ab:

Verdoppelt sich der Strom, vervierfacht sich die Verlustleistung. Deshalb wird ein Kurzschluss ungleich schneller heiß als eine gewöhnliche Überlast. Der Widerstand selbst ist dabei auch nicht konstant, sondern steigt mit der Temperatur:

$ho_{20}$ ist der spezifische Widerstand von Kupfer bei 20 °C, $\alpha \approx 0{,}00393\,/ ext{K}$ sein Temperaturkoeffizient, $S$ der Querschnitt. Eine heiße Leitung erwärmt sich bei gleichem Strom also etwas schneller weiter als eine kalte, ein kleiner, sich selbst verstärkender Effekt.

Dieselbe Formel, einmal umgestellt

Für die Kurzschlussfestigkeit einer Leitung gilt nach DIN VDE 0100-430 die adiabatische Näherung. Adiabatisch heißt hier: In der kurzen Zeit entweicht praktisch keine Wärme an die Umgebung, sie bleibt komplett im Leiter.

Die Materialkonstante $k$ ist selbst nichts anderes als eine kompakte Schreibweise für die Erwärmung von einer Starttemperatur $heta_i$ auf eine Grenztemperatur $heta_f$:

Die 234 ist eine Materialkonstante von Kupfer, der Kehrwert seines Temperaturkoeffizienten. Die 226 fasst Dichte, spezifische Wärmekapazität und den spezifischen Widerstand von Kupfer bei 20 °C zusammen. Setzt man für PVC-Isolierung $heta_i = 70\,° ext{C}$ (zulässige Dauertemperatur) und $heta_f = 160\,° ext{C}$ (Kurzschluss-Grenztemperatur) ein, kommt $k \approx 115$ heraus, derselbe Wert, der im Kurzschluss-Simulator im Blog als Tabellenwert steht. Es ist also dieselbe Formel, nur nach $k$ statt nach $t$ aufgelöst.

Löst man $t = (k(\theta_f) \cdot S / I)^2$ stattdessen nach $heta_f$ auf, bekommt man nicht mehr nur eine einzelne Auslösezeit, sondern die gesamte Temperatur als Funktion der Zeit:

Das ist die Kurve, die der Rechner unten zeichnet.

Der Rechner

Querschnitt und Isolierung wählen, am Regler ziehen: Die Kurve zeigt, wie die Leitertemperatur über die Zeit steigt, mit zwei Markierungen, wo die Isolierung anfängt zu erweichen und wo sie in diesem Modell als vollständig zersetzt gilt.

Bei kleinen Überlastfaktoren bleibt die Temperatur im dargestellten Fenster unter der Erweichungsgrenze, und der Rechner zeigt bewusst kein Ergebnis. An dieser Stelle passiert trotzdem etwas, nur eben langsamer als die Grundannahme erlaubt: keine Wärmeabgabe an die Umgebung stimmt für eine minutenlange Überlast nicht mehr. In Wirklichkeit gibt die Leitung einen Teil der Wärme über Isolierung, Luft und Umgebung ab und pendelt sich bei einer niedrigeren, stabilen Temperatur ein, statt endlos weiterzuheizen.

Und der Einfluss der Leitungslänge?

Eine längere Leitung müsste einen Kurzschluss doch besser wegstecken, könnte man meinen: mehr Kupfer, das die Wärme aufnimmt, mehr Fläche, die sie abgibt. Tut sie nicht. $t = (k(\theta_f) \cdot S / I)^2$ enthält bewusst keine Länge.

Jeder Meter Leitung führt denselben Strom, hat denselben Querschnitt und startet bei derselben Temperatur, also erwärmt sich jeder Meter identisch und gleichzeitig. Was 10 cm neben der Fehlerstelle passiert, hat keinen Einfluss darauf, was 10 m weiter weg passiert, denn die im Leiter entstehende Wärme entweicht radial in die Isolierung und die Umgebung, nicht seitwärts im Kupfer entlang zu einem kühleren Leitungsabschnitt. Ein 1 m langes und ein 100 m langes Stück derselben Leitung erreichen bei derselben Überlast exakt dieselbe Temperatur.

Selbst wenn Wärme sich entlang der Leitung ausbreiten könnte, dauert ein Kurzschluss dafür nicht lange genug: Die Temperaturleitfähigkeit von Kupfer begrenzt die Strecke, die Wärme in ein, zwei Sekunden in Leitungsrichtung zurücklegen kann, auf etwa 1–2 cm, viel zu wenig, um einen kühleren Abschnitt zu erreichen, bevor der Fehler abgeschaltet ist (oder die Isolierung ohnehin schon hin ist). Aus demselben Grund gilt überhaupt erst die adiabatische Annahme, auf der diese ganze Rechnung beruht.

Dieselbe Logik gilt für die Norm-Tabelle weiter unten: Auch sie ist ein Wert pro Meter, deshalb hat auch sie keine Spalte für die Leitungslänge. Bei einer echten Installation spielt die Länge trotzdem eine Rolle, vor allem beim Spannungsabfall und beim gesamten Leistungsverlust, nur eben nicht für die Temperatur, die dieser Rechner ausrechnet.

Was "vollständig weggeschmolzen" nicht ist

Die 160 °C für den Beginn der Erweichung stehen so in der Norm. Die 300 °C für "vollständig weggeschmolzen" nicht, das ist eine grobe eigene Setzung dafür, ab wann von der Isolierung als Isolierung nichts mehr übrig ist. PVC hat keinen scharfen Schmelzpunkt wie ein Eiswürfel. Es erweicht, verformt sich, zersetzt sich chemisch und gibt dabei unter anderem Chlorwasserstoff ab, lange bevor irgendetwas im Sinne von flüssig wegschmilzt. Die zweite Zahl im Rechner taugt deshalb eher als Orientierung für die Größenordnung denn als exakter Messwert.

Warum das im Alltag nicht passiert

Diese Rechnung beschreibt, was mit der Leitung allein passieren würde. Genau deshalb gibt es Leitungsschutzschalter: Ein B-, C- oder D-Automat ist so dimensioniert, dass er bei einem echten Kurzschluss auslöst, lange bevor die Leitung dahinter etwas von dieser Kurve zu spüren bekommt. Im Kurzschluss-Simulator im anderen Beitrag treten Automat und Leitung direkt gegeneinander an. Hier geht es nur um die Leitung für sich, ohne den Schutz, der sie im echten Betrieb eigentlich schützt.

Vergleich mit der Norm-Tabelle

Die Rechnung oben beantwortet eine andere Frage als die Tabelle, mit der die meisten Elektriker tatsächlich planen: die Dauerbelastbarkeit (Strombelastbarkeit $I_z$) eines Kabels im normalen Betrieb, mit echter Kühlung durch Wand, Kanal oder Luft, je nach Verlegeart.

Je Zelle: Belastbarkeit / übliche Absicherung.

Kupferleiter, 25 °C Umgebungstemperatur, Einzelader in wärmegedämmter Wand, in Installationskanal oder Rohr, beziehungsweise auf Kabelrinnen oder unter der Decke, jeweils mit der Absicherung, die üblicherweise dazu gewählt wird.

Das ist derselbe Grundsatz wie bei jedem Leitungsschutzschalter: Der Nennstrom des Schutzorgans $I_n$ liegt bei oder unter der Belastbarkeit der Leitung $I_z$, damit die Sicherung auslöst, bevor die Leitung dauerhaft zu heiß wird, nicht danach.

Der Rechner oben modelliert bewusst den Fall, in dem genau das nicht mehr gilt: ein Fehlerstrom weit oberhalb dieser Tabellenwerte, kurzzeitig, ohne Wärmeabgabe an die Umgebung. Nimm eine 2,5 mm² PVC-Leitung im Installationskanal: Die Tabelle erlaubt 21 A Dauerlast, abgesichert mit 20 A. Fließen dort statt 21 A plötzlich 500 A, etwa bei einem satten Kurzschluss, zeigt der Rechner oben eine Erweichung binnen deutlich unter einer Sekunde.

Bei Aluminiumleitern gegenüber Kupfer mindestens eine Querschnittsstufe größer wählen, ab 70 mm² wegen des höheren Spannungsabfalls eher zwei Stufen. Alle Werte ohne Gewähr, reale Verlegebedingungen (Häufung, Umgebungstemperatur, Dämmung) können abweichen und müssen im Einzelfall geprüft werden.

Vereinfachtes physikalisches Modell zur Veranschaulichung, keine Grundlage für die reale Leitungsdimensionierung. Die adiabatische Näherung gilt nur für kurze, starke Überlastungen; die Zersetzungstemperatur ist eine grobe eigene Annahme, keine Normgröße. Auswahl, Absicherung und Dimensionierung einer echten Installation gehören in die Hände einer Elektrofachkraft.